1 2 3 4 5 6 7 8 9

III-BOB. Matematika rivojlanishining uchinchi davri - Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

bet6/9
Sana26.09.2017
Hajmi1.09 Mb.

 

III-BOB. Matematika rivojlanishining uchinchi davri 

1-

§.

O’zgaruvchi miqdorlar matematikasi 

Reja: 


1.

 

XVI-XVII asrlardagi ilmiy revolyutsiya. 

2.

 

O’zgaruvchi miqdorlar matematikasi. 

3.

 

Analitik geometriyani vujudga kelishi. 

4.

 

Matematikaning boshqa sohalarini rivojlanishi. 

 

XVII  asr  boshiga  kelib  algebra,  trigonometriya,  geometriya  hamda 

hisoblashning turli usullari  sohasida shu darajada ko’p ma’lumotlar to’pladiki, bular 

fan  va  texnikaning  ilmiy  rivojiga  zamin  tayyorlaydi.  Matematikaning  metodlari 

tabiyot  fanlariga  jadal  kirib  bordi.  Jumladan  1609-19  yillarda  Kepler  tomonidan 

planetalar  harakatining  qonunini  ochilishi va uni matematik formulalarini  berilishi, 

1632-38  yillarda  o’aliley  tomonidan  jismning  tushish  qonunini  matematik 

ifodalanishi,  1686  yilda  Nьyuton  tomonidan  butun  olam  tortilishi  qonunining 

ochilishi va matematik ifodasini berilishi va boshqa ko’plab faktlar tabiat qonunlarini 

matematika  tilida  bayon  etishga  olib  keldi.  Matematik  metodlarining  universalligi 

www.ziyouz.com kutubxonasi

 

54 


shu davr olimlarining butun fikrini band qildi. Yakka holda ishlagan olimlar o’rniga 

ilmiy jamiyatlar kela boshladi.Birinchi Akademiyaga 1560 yili Neapolda asos solindi. 

So`ng 1603 yili Rimda Akademiya tashkil qilindi.  1662 yili London qirollik jamiyati, 

1666 yili Parij akademiyasi va boshqalar. 1665 yili Londonda va Parijda, 1682 yilda 

Leyptsigda davriy ravishda jurnallar chiqa boshlaydi. 

Xullas  XVII  asrda  matematika  fani  shu  darajada  tarmoqlanib  ketdiki,  xozirgi 

zamon fani boshlanishi shu erdan boshlanadi. 

Dekart  va  Ferma  asarlarida  analitik  geometriya-geometrik  ob’ektlarning 

o’lchovi, shakli va hossalari sonlar munosabatlari orqali ifodalash shakllandi, koordi-

natalar metodining ishlatilishi. 1665-66 yillalarda I.Nьyuton insholarida “Flyuksiya-

lar nazariyasi” nomi bilan differentsial va integral hisobi, 1682-86 yillarda Leybnitsn-

ing differentsial hisobi e’lon qilindi. Matematik analiz paydo bo’lishi bilan mexanika 

va  fizika  masalalari  differentsial  tenglamalar  yordamida  yozila  boshlandi. 

Funktsional analizning boshlang’ich formasi-variatsion hisobi shakllana boshlandi. 

1604  yili  Kepler  Egrilik  radiusi  formulasini,  1673  yili  evolyuta  va 

evolьventaning matematik ifodasini o’yuygens berdi. 

J.Dezarg (1593-1662), B.Paskal (1623-1662) asarlarida perspektiva va proektiv 

geometriya  shakllandi.  Ya.Bernulli  (1654-1705)  asarlarida  extimollar  nazariyasi 

shakllanadi. Nihoyat elementar matematikaning belgilari va logarifmni kashf etilishi 

bo’ldi. 


Yuqoridagi faktlarning hali to’la bo’lmagan ro’yxati shuni ko’rsatadiki, mate-

matikaga differentsial va integral hisobining kirib kelishi, harakat tushunchasini ki-

rib  kelishi,  uni  dialektik  nuqtai  nazardan  qarashga  olib  kelishi,  bularning  hammasi 

matematikaga  Dekartning  o’zgaruvchi  miqdorlari  paydo  bo’lishi  bilan  asoslanadi. 

Bularning  hammasi  matematikada  sifat  o’zgarishi  bilan  birga  uning  mazmunini 

o’zgarishiga olib keldi. 

Endi ana shu fakt bilan batafsil tanishaylik.  

R.Dekart  (1596-1650,  Frantsiya)  matematikada  tub  burilish  yasagan  “Metod 

haqida  mulohazalar”  (1637  y)  asarning  muallifi,  diniy  kollejni  bitiradi.  Birinchi  nav-

batda ong va qat’iy deduktsiyani tan oluvchi ratsional fikrlari bilan hamda materia-

listik  dunyo  qarashi  bilan  katolik  dini  aqidalariga  qarshi  chiqadi.  Natijada  1629  yili 

Niderlandiyaga ketadi. Bu erda protestantlar bilan chiqisha olmay 1649 yili Shvet-

siyaga keladi. 

R.Dekartning  matematika  haqidagi  fikri  quyidagicha:  Materiyaning  tabiati-

uning uch o’lchovligidadir; uning muhim hossalari-bo’linishligi va harakatlanuvchili-

gidir. Materiyaning ana shu hossalari matematikada aks etishi kerak. U universal fan 

bo’lib, tartib va o’lchov bilan bog’liq hamma narsani o’z ichiga olishi kerak. Matema-

tikaning  butun  tarkibi  yagona  pozitsiyada  qaralmog’i  va  yagona  metod  asosida 

o’rganilmog’i  lozim;  fanning  nomi  esa  ana  shu  umumiylikda  aks  etmog’i  kerak” 

deydi. Shunga ko’ra u matematikani “Universal matematika” deb nomlaydi. Mana 

shu fikrlarini u 1637 yilda e’lon qilgan “Metod haqida mulohazalar” asarida amalga 

oshiradi. Bu bo’limning asosiga quyidagi ikki fikr: 

www.ziyouz.com kutubxonasi

 

55 


1.

 

O’zgaruvchi miqdorni kiritish. 

2.

 

Koordinata o’qini kiritilishi qo’yilgan. 

O’zgaruvchi miqdorni u ikki xil formada ishlatadi:  

a) egri chiziq bo’ylab harakat qiluvchi nuqtaning koordinatasi ko’rinishida; 

b)  koordinata  kesmasining  nuqtalariga  mos  keluvchi  sonli  to’plamning 

o’zgaruvchi elementi sifatida qaraydi. 

Bu bilan Dekart o’z zamonasigacha bo’lgan olimlarning bir yoqlama chegara-

langanliklarini bartaraf etdi. Endi unda x

2

, x


3

, xu lar kesmalar sifatida qaraladi. Alge-

braik tenglamalar  - sonlar orasidagi munosabatni ifodalovchi vosita bo’ldi – bu ma-

tematikani  abstraktlashuviga tomon  katta qadam bo’ladi, aynan mana shu faktlar 

algebrik  chiziqlarni  talqin  etishni  umumlashuviga  va  sharqning  algoritmik  uslubini 

qabul qilinishiga olib keldi. 

Dekartning  algebrik  beligilari  hozirgi  zamon  belgilaridan  unchalik  farq  et-

maydi. 


Masalan  вв аа а

4

1

2

1

 , (faqat daraja hali yo’q edi) 

Ќar  qanday  tenglama  R

n

(x)=0  ko’rinishda  bo’lib,  R

n

(x)  tartiblangan  butun 

koeffitsientli ko’phad. R

n

 (x) ni x-a ga bo’linishidan a- tenglamaning ildizi deb qaray-

di va haqiqiy (musbat) va yolg’on (manfiy) deb hisobga oladi. Musbat va manfiy il-

dizlarni  aniqlash  uchun  Dekart  qoidasi  va  umuman  tenglamalar  nazariyasi  bayon 

etilgan. 

Koordinata o’qini  quyidagicha kiritadi: 

 

  5-rasm 

Koordinata to’gri chizig’ida birlik kesmani kiritish va to’rtinchi  proportsional 

kesmani  yasash  (hozirgi  usulni  o’zi)  bilan      kesmalarni  ko’paytirish  va  bo’lish  

masalasini  hal  qiladi.  Natijada  algebrik  ildizlarning  geometrik  obrazlari  1,2,...  o’rta 

proportsionallarning yasalishiga keltiriladi. 

Yuqorida  aytib  o’tildiki,  Dekartning  “o’eometriya”  asari  XVII  asr 

matematikasida tub burilish yasaydi va bundan keyingi rivoji uchun zamin yaratadi. 

Bu  asar  algebra  yutuqlarini  geometriyaga  tadbiq  etuvchi  fan,  ya’ni  analitik 

geometriyadan dastlabki asar bo’ldi. Shu asar mazmuni bilan tanishaylik. Asar uch 

kitobdan iborat bo’lib, 1-si “Faqat doira va to’g’ri chiziqdan foydalanib yasaladigan 

masalalar  haqida”  kitobida  o’zgaruvchi  miqdorlar  va  koordinatalar  to’g’ri  chizig’i 

kiritishning  umumiy  printsiplari  berilgandan  so’ng  geometrik  chiziqlarning 

tenglamasini  tuzishning  qoidalari  beriladi,  ya’ni:  biror  bir  masalani  echish  uchun 

avvalo uni echilgan deb qabul qilib, berilganlarini va izlangan chiziqlarni birday harf 

bilan  belgilab,  so’ngra  bularni  hech  bir  farqlamay  orasidagi  bog’lanishni  aniqlash 

www.ziyouz.com kutubxonasi

 

56 


natijasida  ikki  ifodani  topish  kerak;  bularni  bir-biriga  tenglash  natijasida  masalani 

echilishini  beradigan  tenglamaga  ega  bo’linadi  deyiladi.  Tsirkulь  va  chizg’ich 

yordamida echiladigan barcha geometrik masalalar darajasi 2 dan katta bo’lmagan 

algebrik tenglamalarni echishga keltiriladi. Analitik geometriyaning qoidalarini De-

kart  umumiy  ko’rinishda  batafsil  bayon  etmaydi,  balki  masalalar  echish  bilan  no-

moyish etadi. 

Asarning ikkinchi kitobi “Egri chiziqlarning tabiati haqida” bo’lib, bunda turli 

tartibdagi  egri  chiziqlar  va  ularni  klassifikatsiyalash  hamda  hossalarga 

bag’ishlangan.  Barcha  egri  chiziqlarni  Dekart  2  sinfga  ajratadi.  Birinchisi  uzluksiz 

harakat  natijasida  yoki  ketma-ket  bajarilgan  harakatlar  natijasida  (tsirkulь  va 

chizg’ich yordamida) hosil bo’ladigan chiziqlar. Qolgan (ikkinchi) chiziqlarni meha-

nik  chiziqlar  (keyinchalik  Leybnits  bularni  transtsendent  chiziqlar)  deb  ataydi. 

Shunga ko’ra algebrik chiziqlar qandaydir sharnirli mexanizmlar yordamida yasalishi 

mumkin deydi va ular algebrik tenglamalar yordamida ifodalanadi deydi (isbotsiz). 

Kitobning asosiy qismi algebrik chiziqlarga urinma va normalь o’tkazishga oid teo-

remalarga bag’ishlangan. 

Asarning uchinchi kitobi “O postroenie telesnыx, ili prevosxodyaщix telesnыe, 

zadach”  deb  nomlanadi.  Algebraning  hamda  geometrik  o’rinlar  ma’lumotlaridan 

foydalanib  tenglamalar  echishning  umumiy  nazariyasini  qurishga  bag’ishlangan. 

Jumladan  koeffentsentlar  qatorida  ishora  almashinishi  qancha  takrorlansa-shunga 

manfiy ildizga ega ekanligini ko’rsatadi. Ildizlarni o’zgartirishni taminlovchi almash-

tirishlarini  kiritadi.  Eng  muhim  yutug’idan  yana  biri  ratsional  koeffentsentli  butun 

ratsional  funktsiyani  yana  shunday  funktsiyalar  ko’patmasi  ko’rinishida  tasvirlash 

masalasini hal qilishdadir. Xususan 3 - darajali keltirilgan tenglama kvadrat radikal-

larda (tsirkulь va chizg’ich yordamida) echilishini isbotlaydi. 4 - darajali tenglamani 

keltirishni  uning  kubik  rezolьventasini  keltirish  masalasiga  olib  keladi.  Masalan 

x

4 +rx

2

+qx+r=0 ni 

0

) 2

2

1

2

1

)(

2

2

1

2

1

(

2

2

2

2

у q Р у ух х у q Р у ух х

  deb,  bu erda u u

ga  nisbatan 

kubik bo’lgan u

6

+2ru

4

+(r


2

-4r)u


2

–q

2

=0 orqali aniqlaydi (isbotsiz). 

3-,  4-  darajali  tenglamalarni  geometriya  vositalari  yordamida  echishni  ikki 

o’rta  iroportsional  miqdorni  va  burchakni  teng  uchga  bo’lishni  yasash  masalasiga 

olib keladi (arabcha usulda). 

Kitobni  muhokamasini  yakunlar  ekanmiz,  uning  bir  qator  kamchiliklarini  sa-

nab o’taylik. 

1)

  faqat algebrik chiziqlar qaraladi; 

2)

 

chiziqlarni klassifikatsiyasi daraja bo’yicha emas; 

3)

 

algebrik apparatni geometriyaga tadbiqi nihoyasiga etmaydi; 

4)

 

koordinatalar o’qlari teng kuchli emas; 

5)

 

chiziqlarning xossalari faqat 1-chorakda o’rganilgan. 

Dekart bilan bir vaqtda analitik geometriyaga asos solgan olim Frantsiyaning 

Tuluza shahridan Pьer Ferma (1601-1665, savdogar oilasidan). Asli Tuluza universi-

www.ziyouz.com kutubxonasi

 

57 


tetini yuridik fakulьtetini bitirgan. Bo’sh vaqtlarida matematika bilan shug’ullangan. 

Sonlar nazariyasi, geometriya, cheksiz kichiklar ustida operatsiyalar bajarish va op-

tika sohalarida katta yutuqlarga erishdi. Uning “Tekislikdagi va fazodagi geometrik 

o’rinlar nazariyasiga kirish” asari 1636 yili yozilgan bo’lib, 1679 yili e’lon qilingan. Bu 

asarda  Ferma  analitik  geometriya  nazariyasini  olg’a  suradi,  ya’ni  koordinatalar 

to’g’ri  chizig’i  va  algebrik  metodlarni  geometriyaga  tatbiq  etilishini  ko’rsatadi.  Bu 

asarda  u  Apolloniyning  geometrik  o’rinlar  nazariyasini  rivojlantirib,  tekislikdagi 

geometrik o’rinlar – to’g’ri chiziq va aylana hamda fazodagi geometrik o’rinlar – ko-

nus  kesmalarini  o’rganish  bo’lib,  1-darajali  tenglamalarga  –  to’g’ri  chiziq  va  konus 

kesmalarga  2-  darajali  tenglamalar  mos  kelishini  ko’rsatadi.  Koordinatalar  metodi 

Dekartnikidaka edi. 

Dastlab  u  koordinata  boshidan  o’tuvchi  to’g’ri  chiziqning  tenglamasi  ax=vu 

ko’rinishda  ekanligini  isbotlaydi,  so’ngra  to’g’ri  burchakli  koordinatalarda  markazi 

koordinata  boshida  bo’lgan  aylana  tenglamasini;  asimptotalar  orqali  giperbolani; 

diametri orqali parabolani; qo’shma diametrlar orqali ellips tenglamalarini chiqara-

di. 


1- va 2- darajali tenglamalarni umumiy ko’rinishda tekshirib, koordinatalarni 

o’zgartirish (o’qlarni burish va koordinata boshini siljitish) natijasida ularni kanonik 

formaga keltiradi va geometrik izohlashni qulaylashtiradi. 

Misol: 2x

2

+2xu+u


2

=a

2

⇒(x+u)

2

+x

2

=a

2

 

Yangi  o’qlarni  tanlaymiz  x+u=0,  x=0;  u  holda  yangi  koordinatalar  x

1

= 2

x, 

u

1

=x+u bo’lib, tenglama 

2

2

2

1

2

1

2 у

х а

 ko’rinishga keladi. Apolloniy bo’yicha bu ellips 

edi y=mx, xy=k

2

, x

2

+y

2

=a

2

, x

2

±a

2

y

2

=v

2

.  


Fazodagi  geometrik  o’rinlarni  analitik  geometriya  yordamida  o’rganishda 

Ferma sirtlarni tekislik bilan kesish usulidan foydalanadi. Afsuski, u bu ishni davom 

ettirmaydi va unda fazoviy koordinatalar yo’q edi.  

Biz analitik geometriya elementlarini o’z ichiga olgan asarlardan ikkitasi bilan 

tanishdik. Qariyb 70 yil davomida bu soha sekinlik bilan rivojlandi. 

1658 yili yarim kubik parabola masalasi hal qilindi. 

1679 yili F.Lagir (1640-1718) tekislik tenglamasini, 

1700 yili A.Paron (1666-1716) sferik sirt va unga urinma tekislik tenglamalarini 

topdi. 

1704 yilda I.Nьyuton “3-tartibli chiziqlar ro’yxati” nomli asarida bu sohani sis-

temaga keltirib biroz rivojlantirdi. 

Klero (1713-1765) fazoda uch o’lchovli to’g’ri burchakli koordinatalar sistema-

sini kiritdi. 

1748  yilda  L.Eyler  “Analizga  kirish”  asarida  bu  sohani  hozirgi  zamon analitik 

geometriya ko’rinishiga yaqinlashtirdi. 

Nomini  esa XVIII asr oxirida frantsuz S.Lakrua berdi. 

www.ziyouz.com kutubxonasi

 

58 


Bu davr matematiklari o’z ishlarida matematikaning yangi va eski turli sohala-

rini qamrab oldilar. Ular klassik bo’limlarni yangi metodlar bilan boyitish bilan birga 

ulardan yangi sohalarni va umuman yangi sohalarni kashf etdilar. 

Jumladan Ferma Diofantni o’rganish bilan qadimgi sohani yangi metodlar bi-

lan boyitdi (sonlar nazariyasi). 

Dezarg esa geometriyani  yangicha interpretatsiya qilish bilan proektiv geo-

metriyani ijod etdi. 

Ferma, Paskalь matematikaning mutlaqo yangi sohasi ehtimollar nazariyasi-

ga asos soldilar. 

Endi ularning assoiy ishlari bilan tanishaylik. 

1) 1621 yilda Diofant asari lotin tilida chiqadi. Bu kitobni o’rgangan Ferma ki-

tob  varag’ining  chetida bir qancha yozuvlar qoldirgan (1670 yili o’g’li e’lon qilgan). 

x

n +y

n

=z

n

, agar n>2 bo’lsa, butun musbat sonlar to’plamida echimi yo’q (Fermaning 

buyuk teoremasi). 

2-kitobning 8-masalasiga – kvadrat sonni ikkita kvadrat songa ajratish – qar-

shisiga kubni ikkita kubga, to’rtinchi darajani va hokazo 2 dan katta bo’lgan darajani 

shu ko’rsakkich bilan ifodalangan ikkita daraja ko’rinishida tasvirlash mumkin emas 

deb yozadi va isbotini  joy etmaganini bohonasida keltirmaganini ko’rsatadi. 

Yana bir joyda 4n+1 ko’rinishdagi tub son faqat birgina usulda ikkita kvadrat-

larning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. Bu teoremani keyinroq Eyler isbot-

ladi. 

Agar  r  tub,  (a,r)=1  bo’lsa,  a

r-1

-1∶r  ni  isbotlaydi.  x

2

-Au


2

=1,  A  butun  va  kvadrat 

emas bo’lganda cheksiz ko’p butun echimlarga ega bo’ladi deydi.  

2) Lionlik arxitektor Jerar Dezarg 1636 yilda e’lon qilgan “Konusni tekislik bi-

lan uchrashganida hosil bo’ladigan narsalarni tushunish uchun urinish” maqolasida 

sintetik  geometriyaning  asosiy  tushunchalaridan  ba’zilari:  cheksiz  uzoqlashgan 

nuqta, involyutsiya, qutbdagi munosabatlar va boshqalar haqida gap yuritadi. 1641 

yil 16 yashar Paskalь konus kesimga ichki chizilgan oltiburchak haqida “Paskalь teo-

remasini” isbotlaydi va bir varaqda e’lon qiladi. Bu Dezargga yangi ilhom baxsh eta-

di.  Natijada  1648  yili  Dezarg  uchburchaklarni perspektiv akslantirish haqidagi teo-

remasini yangidan bayon etadi. Bu fikrlarning aktualligi va sermahzulligi XIX asrga 

kelib to’la ma’noda ochiladi. 

3) Ferma va Paskalь (1623-1662) ehtimollar nazariyasining asoschilaridir. Das-

tlab  ehtimollik  sug’urta  ishlarining    rivojlanishi  bilan  bog’liqdir  (Birinchi  sug’urta 

tashkilotlari XIV  asrda Italiya, Niderlandiyada paydo  bo’ldi). Shu bilan bir qatorda 

matematiklar  oldiga  qimor  o’yinlari  (karta,  ochkoli  tosh)  bilan  bog’liq  masalalar 

qo’yiladi.  Jumladan  Kavalьer  de  Mers  (o’zi  ham  matematik  bo’lgan)  Paskalьga 

“Ochkolar haqida masala” bilan murojat etadi. Buning natijasida u Ferma bilan bir-

galikda  bu  va  shunga  o’xshash  masalalar  bilan  shug’ullanishadi  va  ular  ehtimollar 

nazariyasining  asosiy  tushunchalarini  hal  (1654)  etishadi.  Parijga  kelgan  o’yugens 

bundan xabar topadi va masalaga o’zining echimini beradi va 1657 yili chiqqan “Qi-

www.ziyouz.com kutubxonasi



 

59 


mor o’yinlaridagi hisoblar haqida” asarida bayon etadi. Bu asar ehtimollar nazariya-

siga oid birinchi asardir. 

1664 yilda (o’limidan so’ng) Paskalь uchburchagi 1671 va 1693 yillarda de Vitt 

va o’elleylar tomonidan tug’ilish va  o’lish jadvalini e’lon qilinishi va aholini joylashish 

statistikasi,  kuzatishlarni  nazariy  ishlab  chiqish  metodlari  va  boshqalar  ehtimollar 

nazariyasini fan sifatida shakllanishga olib keldi. 

Ehtimollar nazariyasining bundan keyingi rivoji Yakob  Bernulli(1654-1705) bi-

lan bog’liqdir. 1713 yilda e’lon qilingan “Taxmin qilish san’ati”  kitobining 1-bo’limida 

o’yugensning  qimor  o’yinlari  haqida  traktati  to’liq  berilgan  keyingi  bo’limlarida 

kombinatorika qaralgan bo’lib, Bernulli teoremasi va Paskalь uchburchagini qarash 

natijasida Bernulli sonlari paydo bo’lishi va nihoyat katta sonlar qonunining ochilishi 

ehtimollar nazariyasini ilmiy fan darajasiga ko’tardi. 

 

Tekshirish savollari: 

1. XVI-XVII asrdagi ilmiy revolyutsiya nimadan iborat. 

2. Dekart analitik geometriyasini izoxlang. 

3. Ferma analitik geometriyasini izoxlang. 

4. Matematika kanday shakllandi va rivojlandi. 

 

2-

§.

 Differentsial va integral hisobi 

Reja: 


1.

 

Differentsial va integral hisobining dastlabki kurtaklari: B.Kavelьeri, 

P.Ferma, B.Paskalь, Dj. Vallis, I.Borrou. 

2.

 

Nьyuton va Leybnitsning differentsial va integral hisobi. 

3.

 

Nьyuton hayoti va ijodi, izdoshlari. 

4.

 

Leybnits hayoti va ijodi, izdoshlari. 

 

Dastlab  integratsion  metodlar  bilan  tanishaylik.  Bu  sohadagi  dastlabki  ishlar 

1615  yili  Keplerga  taaluqli.  Metodning  mazmuni  –  aktual  cheksiz  kichik  miqdorlar 

bilan bevosita amallar bajarishdan iborat. 

Butun umri davomida Kopernikning geliotsentrik sistemasini o’rganish, rivoj-

lantirish va targ’ib qilishga bag’ishlangan, 1609 – 19 yillar orasida planetalar haraka-

tiga oid bo’lgan:  

1) planetalar ellips bo’ylab harakat qiladi;  

2) quyosh ularning fokuslaridan birida joylashgan;  

3) planetalarning radius-vektorlari bir xil vaqt oralig’ida teng sektorial yuzalar-

ni hosil qiladi; 

4)  planetalarning  quyosh  atrofida  aylnish  vaqtining  kvadrati  ular  orasidagi 

o’rtacha masofalarning kubiga nisbati kabidir.  

www.ziyouz.com kutubxonasi



 

60 


6-rasm 

Bu masalalarni hal etish cheksiz kichik miqdorlardan foydalana bilishni taqozo 

etardi  (sektorialь  yuzalarni  hisoblash,  o’rtacha  masofalar  ...  ).  Bu  metodni  u  1615 

yilda e’lon qilgan “Vino bochkalarining stereometriyasi”  asarida bayon etadi, ya’ni 

har  qanday  figura  yoki  jism  cheksiz  kichik  bo’laklar  yig’indisidan  tashkil  topgan. 

Masalan, doira cheksiz ko’p cheksiz kichik sektorlardan tashkil topgan bo’lib, bularni 

har  birini  teng  yonli  uchburchak  sifatida  qarash  mumkin.  Bunda  hamma  uchbur-

chaklar bir xil balandlikka (radius), ularning asoslarining yig’indisi aylana uzunligiga 

teng deydi. 

Bu metodni u uncha bo’lmagan geometrik  figuralar va jismlarga tadbiq etadi, 

jami 92 ta. Arximeddan qabul qilingan bu usulni                         Kepler namunali misol-

larda ko’rsatishi, bu  usulni kelajagi porloq ekanligini ko’rsatadi. Bu metodni ilmiylik 

darajasiga ko’tarish va doimiy                           algoritmni ishlab chiqish shu zamon 

olimlarini o’ziga jalb qildi. 

Bulardan  etarlicha  mashxur  bo’lgani  Kavalьeri  printsipi  deb  nomlanuvchi 

bo’linmaslar  geometriyasidir.  Bonaventura  Kavalьeri  (1598-1674)  o’.o’alileyning 

shogirdi, Bolonьya universitetining professori. Bu fikrni u 1621 yilda aytgan bo’lib, 

1629 yilda kafedra professorligiga o’tayotganda sistemali ravishda bayon etadi. Bu 

bo’linmaslar  metodini  takomillashtirish  natijasida  1635  yilda  “Uzluksizlarni 

bo’linmaslar  yordamida  yangi  usulda  bayon  etilgan  geometriya”  kitobini  va  1647 

yilda “Olti geometrik tajriba” nomli kitoblarini yozdi.  

Endi metodning mohiyati bilan tanishaylik.  

Dastlab bo’linmaslar metodi tekis figuralar va jismlarning o’lchamlarini aniq-

lash uchun kashf etilgan. Figuralar regula deb ataluvchi yo’naltiruvchi to’g’ri chiziq-

qa  parallel  o’tkazilgan  to’g’ri  chiziq  kesmalaridan  iborat  deb  qabul  qilinadi.  Bu  ta-

savvur qilingan kesmalar cheksiz ko’p. Ular juftlar deb ataluvchi ikki urinma orasida 

joylashgan va bu urinmalar regulaga parallel olingan. Regula sifatida bu urinmalarn-

ing birini olish mumkin. 

o’eometrik jismlar ham shu ko’rinishda regula sifatida olingan biror tekislikka 

parallel  o’tgan  tekisliklar  bo’linmaslar  deb  olinadi.  Bular  ham  cheksiz  ko’p  bo’lib, 

regulaga  parallel  bo’lgan  urinma  tekisliklar  orasida  joylashgan.  Odatda  bularning 

biri regula sifatida olinadi. 

Endi metodning mazmuni bilan tanishaylik. 

Tekis  figuralar  va  jismlarning  bir-biriga  nisbati  ularning  barcha 

bo’linmaslarining  nisbati  kabidir,  agarda  bo’linmaslar  bir-biriga  bir  xil  nisbatda 

www.ziyouz.com kutubxonasi



 

61 


bo’lsa, u holda mos figuralarning yuzalarining (hajmlarining) nisbati o’sha nisbatga 

teng, ya’ni: 

const

a k

y

k

y

,

dx

)

x

(

f

dx

)

x

(

f

k

y

k

y

S

S

2

1

a

a

2

b

a

1

1

k

2

1

k

1

2

1

  

ixtiyoriy k uchun. U holda S

1

:S 2

=k 

Bu  teoremani  Kavalьeri  bo’linmaslarning  darajalarini  nisbatiga  ham  tadbiq 

etib, 

а 0

n

9

...,

,

2

,

1

n

,

dx

х

 aniq integralni hisoblash masalalariga olib keldi.  

o’.o’alileyning  ikkinchi  shogirdi  E.Torrichelli  (1608-1647)  egri  chiziqli 

bo’linmaslarni kiritdi. Metodning mohiyati va mazmuni Kavalьeriniki kabi. 

XVII asrning birinchi yarmiga kelib aniq integral geometrik figuralarni yuzasini 

va  hajmini  hisoblash  uchun  asosiy  qurol  bo’lib  qoldi.  Faqat  nazariyadagi 

to’liqmasliklarni bartaraf etish qolgan edi.  

Bu borada Paskalь, Ferma, Vallis va Borrou ishlari diqqatga sazovordir. Shular 

bilan qisqacha tanishib chiqaylik. 

Paskalь  ishlari  Kovalьeri  printsipiga  yaqin  bo’lib,  u  barcha  bo’linmaslarning 

yig’indisini elementar yuzachalarning yig’indisi ko’rinishida tushundi. Bu yuzachalar 

quyidagicha  chegaralangan:  abtsissa  o’qi  kesmasi  va  egri  chiziq  bilan  hamda  bir-

biriga  cheksiz  yaqin  va  bir  xil  masofada  bo’lgan  ordinatalar  bilan  chegaralangan, 

ya’ni 


ydx

Ferma  esa  Paskalьdan  ilgari  ketdi.  U  bo’lishni  ixtiyoriy  qilib  oldi.  Natijada 

a

0

n

dx

x

 da n-kasr va manfiy hol uchun hisoblash imkoni bo’ldi. 

Jumladan 

х

0

q

p

.

0

q

,

0

p

,

dx

х

 

Demak,  qaralayotgan  yuza  [O,  X]  abstsissa,  egri  chiziqning  ikki  eng  chekka 

ordinatasi va x

p

=u q

 egri chiziqlar bilan chegaralangan. Integrallash intervali koordi-

natalarida x, 

1

a ...

,

x

a

,

ax

2

 bo’lgan kesmalarga bo’linadi. 

Keyingi  operatsiya 

x,  u, 

x y

,

x

y

  larni  xisoblashga  va  keyin  “polo-

sa”ning  enini  cheksiz  kichraytirishga  o’tish  bilan  geometrik  progressiyaning 

yig’indisini xisoblashga keltiradi. 

x

y

y

x

 

q q p q q p q q p q q p q q p q q p q q p q p q p q p q p q p x a a x y x a a x a a x a x a x a x x a a x a a x a

1

1

...

,

)

1

(

,

)

1

(

,

)

1

(

....


,

,

,

....

,

)

1

(

,

)

1

(

,

)

1

(

2

2

2

 

www.ziyouz.com kutubxonasi



 

62 


Polosalar kichrayganda  q q p x

aniqmas bo’lishini yo’qotish uchun 

q b a

 almash-


tirish bajaradi. Natijada  

)

...

1

)(

1

(

)

...

1

)(

1

(

1

1

1

1

1

2

1

2

q p q q b q q q p b b b b b b b b b b a a

 

Limit xolatida 

1

1 b

a

 bo’lib, 

q q p x q p q x y

 

Xuddi shunga o’xshash 

x n x x

 hisoblanadi. 

Cheksiz  kichiklar  ustida  algebrik  muxokama  usulida  foydalangan  yana  bir 

olim London qirollik jamiyatining asoschisi Oksford universitetining professori  Djon 

Vallis (1616-1703). 1655 yili “Cheksizlar arifmetikasi” asarini e’lon qiladi. Bu asarida u 

Kavalьeri  erishgan  natijasini  to’liqmas  matematik  induktsiya  yordamida  ixtiyoriy 

butun k uchun chiqaradi, ya’ni: 

                            

1

0 1

1 m dx x m

 

Umuman Vallis algebradan analiz tomonga qadam qo’ygan birinchi matema-

tikdir.  U  cheksiz  qatorlar  va  cheksiz  ko’paytmalar  bilan  bemalol  ish  yurita  olgan: 

mavxum  ifodalar,  manfiy  va  kasr  ko’rsatkichlar, 

0

1   o’rniga 

  belgini  ishlatish  va 

boshqalar. 

...

9 9

7

7

5

5

3

3

1

...


8

8

6

6

4

4

2

2

2

 ko’rinishni olgan. 

Umuman 1630-1660 yillar orasida ishlagan barcha matematiklar a

t  u n  = b n  x t  

ko’rinishdagi algebrik chiziq bilan bog’liq bo’lgan masalalar bilan shug’ullanganlar. 

Xar biri t butun musbat, so’ng manfiy va kasr hollar uchun  a m m m a dx x

0

1

1

 formulani 

chiqarishgan (turli usullar bilan). 

Ba’zan  algebrik  bo’lmagan  chiziqlar  ham  paydo  bo’la  boshlagan  (Dekart, 

Paskalь – “ruletta”). 

Endi  differentsial  metodlar  bilan  tanishaylik.  Differentsiallash  yordamida 

echiladigan masalalar:  

1)

 

egri chiziqqa urinma o’tkazish; 

2)

 

funktsiyaning ekstremumlarini topish; 

3)

 

algebrik tenglamalarning karrali ildizlarini mavjudlik shartlarini topish; 

4)

 

Xarakat  traektoriyasining  istalgan  nuqtasida  tezlikni  topish  (mexanika 

masalasi). 

Bu  borada  ko’p  ishlar  qilgan  olimlardan:  o’aliley,  Torichelli,  Dekart,  Ferma 

0

)

(

)

(

h x f h x f

  Vallis,  Borrou  va  boshqalar.  Oxirgisining  ishi  bilan  tanishaylik. 

Vallisning  shogirdi  Isaak  Borrou  (1630-1677)  Kembridj  universitetining  professori 

,1669 yilda “o’eometriya va optikadan lektsiyalar” asarini e’lon qildi. Bunda u yuza-

www.ziyouz.com kutubxonasi

 

63 


larga  oid  masalalar  bilan  o’rinma  o’tkazish  masalalari  o’zaro  teskari  aloqadorlikda 

ekanligini geometrik faktlar asosida bayon etadi.Buning mazmuni quyidagicha:                            

  

                                                                                                                         L 

   

I       K

   

OF va OE egri chiziqlar berilgan bo’lsin.   

E va F nuqtalar umumiy abstsissaga ega.  

Egri chiziqlar DF x R = S

ODE

 yoki Ry=

х x v

0

         

   

    


 F  

shart bilan bog’langan. U holda urinma osti         

 I  

K      4

y

       


DT uchun yoki DT=R DE DF

 yoki R


DT DГ

=DE,     

O

    


T          P       D      P        x 

ya’ni, R


v dx dv

. Bu teoremani Borrou ikki                 

V   E 

xil usulda isbotlaydi.                                 

o’          

  

1-

 

kinematik usul.                         7-rasm                          

o’

  2-

 

geometrik  usulda:  DT=R

DE DF

  shartni  qanoatlantiruvchi  FT  to’g’ri  chiziq 

o’tkazilgan. Shu FT to’g’ri chiziq urinma ekanligi isbotlanishi kerak, ya’ni to’g’ri chi-

ziqning F atrofidagi nuqtalari egri chiziqdan bir tarafda yotishini ko’rsatishimiz ke-

rak. Egri chiziqning I nuqtasi orqali LJK va JKL to’g’ri chiziqlari OX o’qiga parallel qi-

lib o’tkazamiz. U holda S

PDEG

 = R x LF.  

Shakldan  (yasalishiga  ko’ra)  DE R DF DT LF LК

  bundan  LKxDF=RxLF=S

PDEG

xOE 


egri  chiziqning  monotonligini  e’tiborga  olsak,  u  holda  S

PDEG


x>/belgi u nuqtaning F nuqtaga nisbatan joylanishini aniqlaydi. Demak FT urinma ekan. 

Shu natijaga asoslanib Borrou urinma masalasiga teskari bo’lgan masalalarni 

ko’plab  echadi.  Bularning  hammasi  differentsial  va  integral  tushunchalarni  o’zaro 

teskari bog’lanishida ekanligini ko’rsatadi (kiyin geometrik formada bayon etilgan). 

Bu fikrni rivoji tez orada Nьyuton va Leybnits asarlarida o’z ifodasini topadi. 

o’reklarning  va  Kfvalьerining  geometrik  metodlari  hamda  Dekart  va  Vallisning  al-

gebrik  metodi    bilan  qurollangan  Nьyuton  va  Leybnitslar  differentsiallash  va  inte-

grallashning  umumiy  metodini  va  ularni  o’zaro  teskari  munosabatda  ekanligini 

ochishdi. 


Do'stlaringiz bilan baham:

©2018 Учебные документы
Рады что Вы стали частью нашего образовательного сообщества.
?


iiibob-2.html

iiibrics-summitsanya.html

iiif---azrbaycan-resubl.html

iiif---microsoft-word-6.html

iiifavoriser-le.html